要实现Chrome浏览器的下载任务实时监控和状态同步，可以使用以下方法：
1. 使用`chrome.downloads` API：通过监听`chrome.downloads`接口，可以获取到当前正在下载的任务列表。然后，可以通过遍历这个列表来查看每个任务的状态。
2. 使用`chrome.tabs` API：通过监听`chrome.tabs`接口，可以获取到当前打开的所有标签页。然后，可以通过遍历这个列表来查看每个标签页中的下载任务。
以下是一个简单的示例代码：
javascript
// 获取当前正在下载的任务列表
chrome.runtime.onInstalled.addListener(() => {
const downloads = chrome.downloads;
const tabs = chrome.tabs;
// 获取当前正在下载的任务列表
const downloadingTasks = downloads.getAllDownloads();
// 遍历任务列表，获取每个任务的状态
for (const task of downloadingTasks) {
console.log(`任务ID: ${task.id}, 状态: ${task.status}`);
}
});

注意：由于隐私和安全原因，上述代码可能无法在所有情况下正常工作。在实际应用中，可能需要根据具体需求进行相应的调整。